demo3 crystal buckling

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo-precompute%3E%3D0.2.3%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.21.1%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Demo%203%3A%20Subcritical%20pitchfork%20in%20a%202D%20crystal%0A%0A%20%20%20%20A%202D%20hexagonal%20Lennard-Jones%20crystal%20is%20compressed%20uniaxially.%0A%20%20%20%20At%20a%20critical%20strain%20(~14.5%20%25)%20the%20symmetric%20(uniformly%20compressed)%20equilibrium%0A%20%20%20%20becomes%20unstable%20and%20two%20**buckled**%20configurations%20emerge%20%E2%80%94%20a%0A%20%20%20%20**pitchfork%20bifurcation**.%0A%0A%20%20%20%20The%20buckling%20mode%20is%20a%20vortex-like%20in-plane%20rotation%20of%20atoms%20about%0A%20%20%20%20the%20centre%20of%20a%20lattice%20triangle.%20The%20two%20buckled%20branches%20correspond%0A%20%20%20%20to%20opposite%20rotation%20senses.%20The%20bifurcation%20is%20**subcritical**%3A%20the%0A%20%20%20%20buckled%20branches%20first%20extend%20*backward*%20in%20strain%20(with%20a%20fold%2Fturning%0A%20%20%20%20point)%20before%20continuing%20forward%20%E2%80%94%20creating%20a%20hysteresis%20region.%0A%0A%20%20%20%20In%20this%20notebook%20we%20will%20use%20LACT%20to%20capture%20this%20phenomenon%20by%20tracing%20three%20solution%20curves%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Curve%20%7C%20Description%20%7C%0A%20%20%20%20%7C-------%7C-------------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**QS**%20%7C%20Quasi-static%20loading%20starting%20from%20undeformed%20state%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Continuation%20A**%20%7C%20Seeded%20just%20before%20the%20end%20of%20QS%2C%20continued%20backward%20%E2%80%94%20traces%20the%20buckled%20branch%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Continuation%20B**%20%7C%20Seeded%20well%20before%20bifurcation%2C%20continued%20forward%20past%20it%20on%20the%20symmetric%20(unstable)%20branch%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20We%20first%20load%20the%20necessary%20dependencies%20and%20some%20helper%20functions%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20marimo_precompute%20import%20persistent_cache%2C%20prefetch_all%0A%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20LACT.precomputed%20import%20PrecomputedSystem%0A%20%20%20%20except%20ImportError%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20class%20PrecomputedSystem%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20def%20__init__(self%2C%20d)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.natoms%20%3D%20int(d%5B%22natoms%22%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.U_0%20%3D%20np.asarray(d%5B%22U_0%22%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.data%20%3D%20%7B%22Y_s%22%3A%20%5Bnp.asarray(y)%20for%20y%20in%20d%5B%22Y_s%22%5D%5D%2C%20%22ds_s%22%3A%20list(d.get(%22ds_s%22%2C%20%5B%5D))%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20%22energies%22%20in%20d%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.data%5B%22energies%22%5D%20%3D%20list(d%5B%22energies%22%5D)%0A%20%20%20%20return%20PrecomputedSystem%2C%20mo%2C%20np%2C%20persistent_cache%2C%20plt%2C%20prefetch_all%0A%0A%0A%40app.cell%0Aasync%20def%20_(prefetch_all)%3A%0A%20%20%20%20await%20prefetch_all()%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(np%2C%20sys)%3A%0A%20%20%20%20def%20_find_triangle_atoms(U0)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%223%20atoms%20forming%20the%20central%20triangle%20(to%20the%20right%20of%20domain%20mean).%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rc_mean%20%3D%20U0%5B%3A%2C%20%3A2%5D.mean(axis%3D0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dists%20%3D%20np.linalg.norm(U0%5B%3A%2C%20%3A2%5D%20-%20_rc_mean%2C%20axis%3D1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_idx4%20%3D%20np.argsort(_dists)%5B%3A4%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xs%20%3D%20U0%5B_idx4%2C%200%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20_idx4%5Bnp.argsort(_xs)%5B1%3A%5D%5D%0A%0A%20%20%20%20tri_idx%20%3D%20_find_triangle_atoms(sys.U_0)%0A%0A%20%20%20%20def%20circulation(sys_obj)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Compute%20circulation%20of%20displacement%20field%20about%20the%20tracking%20triangle%20centroid.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_U0%20%3D%20sys_obj.U_0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rc0%20%3D%20_U0%5Btri_idx%2C%20%3A2%5D.mean(axis%3D0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20strains%2C%20circ%20%3D%20%5B%5D%2C%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20Y%20in%20sys_obj.data%5B%22Y_s%22%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20strains.append(Y%5B-1%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_dev%20%3D%20Y%5B%3A-1%5D.reshape(-1%2C%203)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_pos%20%3D%20_U0%20%2B%20_dev%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_rc%20%3D%20_pos%5Btri_idx%2C%20%3A2%5D.mean(axis%3D0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_rx%20%3D%20_pos%5B%3A%2C%200%5D%20-%20_rc%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ry%20%3D%20_pos%5B%3A%2C%201%5D%20-%20_rc%5B1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ux%20%3D%20_dev%5B%3A%2C%200%5D%20-%20(_rc%5B0%5D%20-%20_rc0%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_uy%20%3D%20_dev%5B%3A%2C%201%5D%20-%20(_rc%5B1%5D%20-%20_rc0%5B1%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20circ.append(np.sum(_rx%20*%20_uy%20-%20_ry%20*%20_ux))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.array(strains)%2C%20np.array(circ)%0A%0A%20%20%20%20return%20circulation%2C%20tri_idx%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(np%2C%20sys%2C%20sys_a%2C%20sys_b)%3A%0A%20%20%20%20branch_styles%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22QS%22%2C%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sys%2C%20%20%20%22-%22%2C%20%22C1%22%2C%206.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Continuation%20A%22%2C%20%20sys_a%2C%20%22-%22%2C%20%22C0%22%2C%201.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Continuation%20B%22%2C%20%20sys_b%2C%20%22-%22%2C%20%22C2%22%2C%202.5)%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20def%20get_branch_data(sys_obj)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20strains%20%3D%20np.array(%5BY%5B-1%5D%20for%20Y%20in%20sys_obj.data%5B%22Y_s%22%5D%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20energies%20%3D%20np.array(sys_obj.data%5B%22energies%22%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20strains%2C%20energies%0A%0A%20%20%20%20return%20branch_styles%2C%20get_branch_data%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Then%20create%20a%20LAMMPS%20instance%20and%20pass%20on%20the%20simulation%20setup%2C%20together%20with%20the%20update%20command%20associated%20with%20the%20continuation%20parameter%20(uniaxial%20compression)%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20make_crystal%20%3D%20None%0A%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20lammps%20import%20lammps%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20LACT%20import%20atom_cont_system%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_NX%20%3D%204%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20make_crystal()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Create%20a%202D%20hex%20LJ%20crystal%2C%20relaxed%20to%20zero%20stress.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_lmp%20%3D%20lammps(cmdargs%3D%5B%22-screen%22%2C%20%22none%22%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_lmp.commands_string(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20units%20%20%20%20%20%20%20%20%20lj%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dimension%20%20%20%20%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20boundary%20%20%20%20%20%20p%20p%20p%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20atom_style%20%20%20%20atomic%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20atom_modify%20%20%20map%20yes%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lattice%20%20%20%20%20%20%20hex%200.9165%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20region%20%20%20%20%20%20%20%20box%20block%200%20%7B_NX%7D%200%20%7B_NX%7D%20-0.5%200.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20create_box%20%20%20%201%20box%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20create_atoms%20%201%20box%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mass%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201%201.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pair_style%20%20%20%20lj%2Fcut%202.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pair_coeff%20%20%20%201%201%201.0%201.0%202.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fix%20boxrelax%20all%20box%2Frelax%20iso%200.0%20vmax%200.001%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20minimize%200%201e-12%2050000%2050000%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20unfix%20boxrelax%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20compute%20forces%20all%20property%2Fatom%20fx%20fy%20fz%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20compute%20ids%20all%20property%2Fatom%20id%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20run%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_box%20%3D%20_lmp.extract_box()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_xlo%2C%20_xhi%20%3D%20_box%5B0%5D%5B0%5D%2C%20_box%5B1%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Lx%20%3D%20_xhi%20-%20_xlo%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20def%20_update(strain)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_dx%20%3D%20_Lx%20*%20strain%20%2F%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20f%22change_box%20all%20x%20final%20%7B_xlo%2B_dx%7D%20%7B_xhi-_dx%7D%20units%20box%22%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20atom_cont_system(_lmp%2C%20_update)%2C%20_lmp%0A%20%20%20%20except%20ImportError%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pass%0A%20%20%20%20return%20(make_crystal%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Because%20in%20this%20system%20we%20expect%20(at%20least)%20two%20meaningful%20continuation%20curves%2C%20we%20will%20need%20the%20ability%20to%20spawn%20a%20new%20continuation%20routine%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.function%0Adef%20seed_continuation(make_crystal%2C%20qs_Ys%2C%20idx%2C%20reverse%3DFalse)%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22Create%20a%20fresh%20system%20seeded%20for%20continuation%20from%20two%20consecutive%20QS%20points.%0A%0A%20%20%20%20Parameters%0A%20%20%20%20----------%0A%20%20%20%20make_crystal%20%3A%20callable%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Factory%20that%20returns%20(atom_cont_system%2C%20lmp).%0A%20%20%20%20qs_Ys%20%3A%20list%20of%20arrays%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20quasi-static%20solution%20list%20from%20the%20original%20QS%20run.%0A%20%20%20%20idx%20%3A%20int%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Index%20of%20the%20*first*%20of%20the%20two%20consecutive%20points.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Uses%20qs_Ys%5Bidx%5D%20and%20qs_Ys%5Bidx%20%2B%201%5D.%0A%20%20%20%20reverse%20%3A%20bool%0A%20%20%20%20%20%20%20%20If%20False%2C%20the%20tangent%20points%20from%20idx%20-%3E%20idx%2B1%20(increasing%20strain).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20If%20True%2C%20the%20tangent%20points%20from%20idx%2B1%20-%3E%20idx%20(decreasing%20strain).%0A%0A%20%20%20%20Returns%0A%20%20%20%20-------%0A%20%20%20%20new_sys%20%3A%20atom_cont_system%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20fresh%20system%20with%20data%5B%22Y_s%22%5D%20seeded%20and%20ready%20for%0A%20%20%20%20%20%20%20%20new_sys.continuation_run(...).%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20new_sys%2C%20_lmp%20%3D%20make_crystal()%0A%20%20%20%20new_sys.quasi_static_run(0.0%2C%200.0%2C%201%2C%20verbose%3DFalse)%0A%0A%20%20%20%20Y_a%20%3D%20qs_Ys%5Bidx%5D.copy()%0A%20%20%20%20Y_b%20%3D%20qs_Ys%5Bidx%20%2B%201%5D.copy()%0A%0A%20%20%20%20if%20reverse%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20new_sys.data%5B%22Y_s%22%5D%20%3D%20%5BY_b%2C%20Y_a%5D%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20new_sys.data%5B%22Y_s%22%5D%20%3D%20%5BY_a%2C%20Y_b%5D%0A%20%20%20%20new_sys.data%5B%22ds_s%22%5D%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%20%20%20%20return%20new_sys%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20strain_max%20%3D%200.16%0A%20%20%20%20K%20%3D%201000%0A%20%20%20%20strain_plot_min%20%3D%200.12%20%20%23%20only%20plot%20from%20this%20strain%20onward%0A%20%20%20%20return%20K%2C%20strain_max%2C%20strain_plot_min%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20We%20can%20now%20trace%20the%20quasi-static%20curve%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(K%2C%20PrecomputedSystem%2C%20make_crystal%2C%20persistent_cache%2C%20strain_max)%3A%0A%20%20%20%20def%20_run_qs()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s%2C%20_lmp%20%3D%20make_crystal()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_increment%20%3D%20strain_max%20%2F%20K%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s.quasi_static_run(0.0%2C%20_increment%2C%20K%20%2B%201%2C%20verbose%3DFalse)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s.compute_energies()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22natoms%22%3A%20_s.natoms%2C%20%22U_0%22%3A%20_s.U_0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Y_s%22%3A%20_s.data%5B%22Y_s%22%5D%2C%20%22energies%22%3A%20_s.data%5B%22energies%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20with%20persistent_cache(name%3D%22demo3_qs%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20qs_data%20%3D%20_run_qs()%0A%20%20%20%20sys%20%3D%20PrecomputedSystem(qs_data)%0A%20%20%20%20qs_Ys%20%3D%20sys.data%5B%22Y_s%22%5D%0A%20%20%20%20return%20qs_Ys%2C%20sys%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20And%20let%20us%20plot%20the%20energy%20curve%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(branch_styles%2C%20get_branch_data%2C%20plt%2C%20strain_plot_min)%3A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8%2C%205))%0A%20%20%20%20for%20_label%2C%20_sys%2C%20_fmt%2C%20_color%2C%20_lw%20in%20branch_styles%5B%3A1%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s%2C%20_e%20%3D%20get_branch_data(_sys)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mask%20%3D%20_s%20%3E%3D%20strain_plot_min%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_s%5B_mask%5D%2C%20_e%5B_mask%5D%2C%20_fmt%2C%20lw%3D_lw%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_color%2C%20label%3D_label)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(%22Uniaxial%20strain%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(%22Energy%20per%20atom%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_title(%22Energy%20diagram%22)%0A%20%20%20%20_ax.legend()%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20We%20observe%20that%20the%20QS%20curve%20admits%20two%20energy%20drops%2C%20related%20to%20passing%20a%20bifurcation%20point.%0A%0A%20%20%20%20The%20first%20smaller%20drop%20appears%20to%20correspond%20to%20an%20even%20more%20complicated%20bifurcating%20behaviour%2C%20which%20we%20do%20not%20pursue%20in%20this%20demo.%0A%0A%20%20%20%20We%20instead%20focus%20on%20the%20second%20larger%20drop%20and%20show%20that%20by%20seeding%20a%20reverse%20continuation%20run%20after%20the%20drop%20we%20are%20able%20to%20trace%20out%20the%20pitchfork%20bifurcation.%20This%20is%20done%20as%20follows%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(PrecomputedSystem%2C%20make_crystal%2C%20persistent_cache%2C%20qs_Ys)%3A%0A%20%20%20%20def%20_run_cont_a()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s%20%3D%20seed_continuation(make_crystal%2C%20qs_Ys%2C%20-6%2C%20reverse%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s.continuation_run(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20n_iter%3D200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ds_default%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ds_smallest%3D0.001%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ds_largest%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20verbose%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20checkpoint_freq%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cont_target%3D0.16%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20target_tol%3D0.001%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s.data%5B%22Y_s%22%5D%20%3D%20_s.data%5B%22Y_s%22%5D%5B%3A-2%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s.compute_energies()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22natoms%22%3A%20_s.natoms%2C%20%22U_0%22%3A%20_s.U_0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Y_s%22%3A%20_s.data%5B%22Y_s%22%5D%2C%20%22energies%22%3A%20_s.data%5B%22energies%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20with%20persistent_cache(name%3D%22demo3_cont_a%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cont_a_data%20%3D%20_run_cont_a()%0A%20%20%20%20sys_a%20%3D%20PrecomputedSystem(cont_a_data)%0A%20%20%20%20return%20(sys_a%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20And%20we%20also%20start%20another%20continuation%20curve%20before%20the%20first%20drop%20to%20show%20that%20the%20symmetric%20compressed%20state%20remains%20an%20equilibrium%20configuration%20(but%20changes%20from%20a%20local%20minimum%20to%20a%20saddle%20point)%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(PrecomputedSystem%2C%20make_crystal%2C%20persistent_cache%2C%20qs_Ys)%3A%0A%20%20%20%20def%20_run_cont_b()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s%20%3D%20seed_continuation(make_crystal%2C%20qs_Ys%2C%20750%2C%20reverse%3DFalse)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s.continuation_run(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20n_iter%3D100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ds_default%3D0.001%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ds_smallest%3D0.001%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ds_largest%3D0.005%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20verbose%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20checkpoint_freq%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cont_target%3D0.16%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20target_tol%3D0.005%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s.compute_energies()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22natoms%22%3A%20_s.natoms%2C%20%22U_0%22%3A%20_s.U_0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Y_s%22%3A%20_s.data%5B%22Y_s%22%5D%2C%20%22energies%22%3A%20_s.data%5B%22energies%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20with%20persistent_cache(name%3D%22demo3_cont_b%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cont_b_data%20%3D%20_run_cont_b()%0A%20%20%20%20sys_b%20%3D%20PrecomputedSystem(cont_b_data)%0A%20%20%20%20return%20(sys_b%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Energy%20vs%20strain%0A%0A%20%20%20%20We%20can%20now%20plot%20the%20three%20curves%20together%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(branch_styles%2C%20get_branch_data%2C%20plt%2C%20strain_plot_min)%3A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8%2C%205))%0A%20%20%20%20for%20_label%2C%20_sys%2C%20_fmt%2C%20_color%2C%20_lw%20in%20branch_styles%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s%2C%20_e%20%3D%20get_branch_data(_sys)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mask%20%3D%20_s%20%3E%3D%20strain_plot_min%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_s%5B_mask%5D%2C%20_e%5B_mask%5D%2C%20_fmt%2C%20lw%3D_lw%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_color%2C%20label%3D_label)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(%22Uniaxial%20strain%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(%22Energy%20per%20atom%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_title(%22Energy%20diagram%22)%0A%20%20%20%20_ax.legend()%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20buckled%20branch%20(blue)%20exhibits%20interesting%20behaviour%3A%20it%20seems%20to%20admit%20a%20genuine%20fold%20point%20followed%20by%20turning%20in%20on%20itself%2C%20because%20we%20start%20tracing%20the%20buckle%20occurring%20in%20the%20other%20orientation.%20This%20will%20be%20properly%20illuminated%20in%20the%20bifurcation%20diagram%20below.%20The%20symmetric%20branch%20(green)%20is%20continued%20past%20the%0A%20%20%20%20bifurcation%20using%20LACT's%20arclength%20solver%2C%20something%20that%20a%20QS%20approach%20cannot%20do.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Bifurcation%20diagram%0A%0A%20%20%20%20The%20**circulation**%20%24%5CGamma%20%3D%20%5Csum_j%20(%5Cmathbf%7Br%7D_j%20-%20%5Cmathbf%7Br%7D_c)%20%5Ctimes%20%5Cmathbf%7Bu%7D_j%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bz%7D%24%0A%20%20%20%20measures%20the%20net%20rotational%20displacement%20about%20the%20vortex%20centre%0A%20%20%20%20(tracked%20as%20the%20centroid%20of%20a%20central%20lattice%20triangle%20in%20the%20deformed%0A%20%20%20%20configuration).%20It%20is%20zero%20on%20the%20symmetric%20branch%20and%20takes%20opposite%0A%20%20%20%20signs%20for%20the%20two%20vortex%20orientations%20%E2%80%94%20making%20the%20subcritical%0A%20%20%20%20pitchfork%20structure%20clearly%20visible.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(branch_styles%2C%20circulation%2C%20plt%2C%20strain_plot_min)%3A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8%2C%205))%0A%20%20%20%20for%20_label%2C%20_sys%2C%20_fmt%2C%20_color%2C%20_lw%20in%20branch_styles%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s%2C%20_c%20%3D%20circulation(_sys)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mask%20%3D%20_s%20%3E%3D%20strain_plot_min%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_s%5B_mask%5D%2C%20_c%5B_mask%5D%2C%20_fmt%2C%20lw%3D_lw%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_color%2C%20label%3D_label)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(%22Uniaxial%20strain%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(%22Circulation%20%24%5C%5CGamma%24%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_title(%22Bifurcation%20diagram%20(subcritical%20pitchfork)%22)%0A%20%20%20%20_ax.legend()%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Representative%20configurations%0A%0A%20%20%20%20A%20selection%20of%20configurations%20at%20key%20points%20along%20the%20solution%20curves.%0A%20%20%20%20Red%20arrows%20show%20displacements%20from%20the%20undeformed%20reference.%20The%20orange%0A%20%20%20%20cross%20marks%20the%20vortex%20centre%20(deformed%20triangle%20centroid).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(np%2C%20plt%2C%20sys%2C%20sys_a%2C%20tri_idx)%3A%0A%20%20%20%20_snapshots%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(sys%2C%20%20%200%2C%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Undeformed%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(sys%2C%20%20%20len(sys.data%5B%22Y_s%22%5D)%20%2F%2F%202%2C%20%20%20%20%20%22Symmetric%20(mid)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(sys%2C%20%20%20len(sys.data%5B%22Y_s%22%5D)%20-%201%2C%20%20%20%20%20%20%22Symmetric%20(max%20strain)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(sys_a%2C%20len(sys_a.data%5B%22Y_s%22%5D)%20%2F%2F%204%2C%20%20%20%22Buckled%20A%20(early)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(sys_a%2C%20len(sys_a.data%5B%22Y_s%22%5D)%20%2F%2F%202%2C%20%20%20%22Buckled%20A%20(mid)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(sys_a%2C%20len(sys_a.data%5B%22Y_s%22%5D)%20-%201%2C%20%20%20%20%22Buckled%20A%20(late)%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20_ncols%20%3D%203%0A%20%20%20%20_nrows%20%3D%202%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(_nrows%2C%20_ncols%2C%20figsize%3D(5%20*%20_ncols%2C%205%20*%20_nrows))%0A%20%20%20%20_axes_flat%20%3D%20_axes.flatten()%0A%0A%20%20%20%20for%20_ax%2C%20(_sys%2C%20_idx%2C%20_title)%20in%20zip(_axes_flat%2C%20_snapshots)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_n%20%3D%20_sys.natoms%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_U0%20%3D%20_sys.U_0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Y%20%3D%20_sys.data%5B%22Y_s%22%5D%5B_idx%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dev%20%3D%20_Y%5B%3A-1%5D.reshape(_n%2C%203)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_pos%20%3D%20_U0%20%2B%20_dev%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.scatter(_pos%5B%3A%2C%200%5D%2C%20_pos%5B%3A%2C%201%5D%2C%20s%3D80%2C%20c%3D%22C0%22%2C%20edgecolors%3D%22k%22%2C%20lw%3D0.5)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rc%20%3D%20_pos%5Btri_idx%2C%20%3A2%5D.mean(axis%3D0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.scatter(_rc%5B0%5D%2C%20_rc%5B1%5D%2C%20s%3D120%2C%20c%3D%22orange%22%2C%20marker%3D%22x%22%2C%20zorder%3D5%2C%20linewidths%3D2)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_j%20in%20range(_n)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_d%20%3D%20_pos%5B_j%2C%20%3A2%5D%20-%20_U0%5B_j%2C%20%3A2%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.linalg.norm(_d)%20%3E%201e-3%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%20xy%3D(_pos%5B_j%2C%200%5D%2C%20_pos%5B_j%2C%201%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(_U0%5B_j%2C%200%5D%2C%20_U0%5B_j%2C%201%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D%22-%3E%22%2C%20color%3D%22r%22%2C%20lw%3D0.8)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_title(f%22%7B_title%7D%5Cn(strain%20%3D%20%7B_Y%5B-1%5D%3A.4f%7D)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_aspect(%22equal%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.2)%0A%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Interactive%20explorer%0A%0A%20%20%20%20Pick%20a%20branch%20and%20slide%20along%20the%20solution%20curve.%20The%20left%20panel%20shows%0A%20%20%20%20the%20atomic%20configuration%3B%20the%20right%20panel%20shows%20the%20bifurcation%20diagram%0A%20%20%20%20with%20a%20red%20dot%20marking%20the%20current%20point.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20sys%2C%20sys_a%2C%20sys_b)%3A%0A%20%20%20%20_systems%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22QS%22%3A%20sys%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Continuation%20A%22%3A%20sys_a%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Continuation%20B%22%3A%20sys_b%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20sys_picker%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D_systems%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22System%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22QS%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sys_picker%0A%20%20%20%20return%20(sys_picker%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20np%2C%20strain_plot_min%2C%20sys%2C%20sys_picker)%3A%0A%20%20%20%20_sel%20%3D%20sys_picker.value%0A%20%20%20%20_n_pts%20%3D%20len(_sel.data%5B%22Y_s%22%5D)%0A%20%20%20%20%23%20For%20QS%20system%2C%20start%20slider%20at%20strain_plot_min%20region%0A%20%20%20%20if%20_sel%20is%20sys%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_strains%20%3D%20np.array(%5BY%5B-1%5D%20for%20Y%20in%20_sel.data%5B%22Y_s%22%5D%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_start%20%3D%20int(np.searchsorted(_strains%2C%20strain_plot_min))%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_start%20%3D%200%0A%20%20%20%20idx_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D_start%2C%20stop%3D_n_pts%20-%201%2C%20step%3D1%2C%20value%3D_start%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Index%20along%20curve%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20idx_slider%0A%20%20%20%20return%20(idx_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20branch_styles%2C%0A%20%20%20%20circulation%2C%0A%20%20%20%20idx_slider%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20strain_plot_min%2C%0A%20%20%20%20sys_picker%2C%0A%20%20%20%20tri_idx%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_sys%20%3D%20sys_picker.value%0A%20%20%20%20_idx%20%3D%20idx_slider.value%0A%20%20%20%20_n%20%3D%20_sys.natoms%0A%20%20%20%20_U0%20%3D%20_sys.U_0%0A%20%20%20%20_Y%20%3D%20_sys.data%5B%22Y_s%22%5D%5B_idx%5D%0A%20%20%20%20_dev%20%3D%20_Y%5B%3A-1%5D.reshape(_n%2C%203)%0A%20%20%20%20_pos%20%3D%20_U0%20%2B%20_dev%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20(_ax_l%2C%20_ax_r)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(14%2C%206))%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Left%3A%20configuration%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_ax_l.scatter(_pos%5B%3A%2C%200%5D%2C%20_pos%5B%3A%2C%201%5D%2C%20s%3D80%2C%20c%3D%22C0%22%2C%20edgecolors%3D%22k%22%2C%20lw%3D0.5)%0A%0A%20%20%20%20_rc%20%3D%20_pos%5Btri_idx%2C%20%3A2%5D.mean(axis%3D0)%0A%20%20%20%20_ax_l.scatter(_rc%5B0%5D%2C%20_rc%5B1%5D%2C%20s%3D120%2C%20c%3D%22orange%22%2C%20marker%3D%22x%22%2C%20zorder%3D5%2C%20linewidths%3D2)%0A%0A%20%20%20%20for%20_j%20in%20range(_n)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_d%20%3D%20_pos%5B_j%2C%20%3A2%5D%20-%20_U0%5B_j%2C%20%3A2%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.linalg.norm(_d)%20%3E%201e-3%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_l.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%20xy%3D(_pos%5B_j%2C%200%5D%2C%20_pos%5B_j%2C%201%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(_U0%5B_j%2C%200%5D%2C%20_U0%5B_j%2C%201%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D%22-%3E%22%2C%20color%3D%22r%22%2C%20lw%3D0.8)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_ax_l.set_title(f%22Configuration%20%E2%80%94%20strain%20%3D%20%7B_Y%5B-1%5D%3A.4f%7D%22)%0A%20%20%20%20_ax_l.set_aspect(%22equal%22)%0A%20%20%20%20_ax_l.grid(True%2C%20alpha%3D0.2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Right%3A%20bifurcation%20diagram%20with%20current%20point%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20for%20_label%2C%20_s_obj%2C%20_fmt%2C%20_color%2C%20_lw%20in%20branch_styles%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s%2C%20_c%20%3D%20circulation(_s_obj)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mask%20%3D%20_s%20%3E%3D%20strain_plot_min%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_r.plot(_s%5B_mask%5D%2C%20_c%5B_mask%5D%2C%20_fmt%2C%20lw%3D_lw%20*%200.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_color%2C%20alpha%3D0.5%2C%20label%3D_label)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Current%20point%0A%20%20%20%20_cur_s%2C%20_cur_c%20%3D%20circulation(_sys)%0A%20%20%20%20_ax_r.plot(_cur_s%5B_idx%5D%2C%20_cur_c%5B_idx%5D%2C%20%22o%22%2C%20ms%3D12%2C%20color%3D%22red%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D10%2C%20label%3D%22Current%20point%22)%0A%0A%20%20%20%20_ax_r.set_xlabel(%22Uniaxial%20strain%22)%0A%20%20%20%20_ax_r.set_ylabel(%22Circulation%20%24%5C%5CGamma%24%22)%0A%20%20%20%20_ax_r.set_title(%22Bifurcation%20diagram%22)%0A%20%20%20%20_ax_r.legend(fontsize%3D8)%0A%20%20%20%20_ax_r.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A