demo4 vacancy migration

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22plotly%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo-precompute%3E%3D0.2.3%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.21.1%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Demo%204%3A%203D%20LJ%20crystal%20with%20vacancy%20%E2%80%94%20vacancy%20migration%0A%0A%20%20%20%20A%203D%20FCC%20Lennard-Jones%20crystal%20(4%C3%974%C3%974%20unit%20cells%2C%20255%20atoms%20after%0A%20%20%20%20removing%20one%20vacancy)%20contains%20two%20randomly%20assigned%20atomic%20species%0A%20%20%20%20(80%25%20type%201%2C%2020%25%20type%202).%20The%20**cross-species%20interaction%20parameter**%0A%20%20%20%20%24%5Csigma_%7B12%7D%20%3D%202%5Cmu%24%20is%20used%20as%20the%20continuation%20parameter.%0A%0A%20%20%20%20At%20%24%5Cmu%20%3D%201%24%20both%20species%20interact%20identically.%20As%20%24%5Cmu%24%20increases%2C%0A%20%20%20%20the%20size%20mismatch%20between%20species%20drives%20instabilities%20%E2%80%94%20the%20vacancy%0A%20%20%20%20migrates%20and%20the%20lattice%20rearranges.%20Quasi-static%20loading%20captures%0A%20%20%20%20these%20jumps%20as%20discontinuities%2C%20while%20**arclength%20continuation**%0A%20%20%20%20traces%20the%20full%20solution%20path%20through%20the%20folds.%0A%0A%20%20%20%20In%20this%20notebook%20we%20use%20LACT%20to%20trace%20these%20instabilities%20numerically.%0A%0A%20%20%20%20As%20a%20result%2C%20we%20are%20able%20to%20capture%20the%20simple%20saddle%20corresponding%20to%20vacancy%20migration%2C%20but%20also%20a%20more%20complicated%20rearrangement%20involving%20three%20atoms%20only.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20We%20first%20load%20the%20necessary%20dependencies%20and%20define%20some%20helper%20functions%2C%0A%20%20%20%20which%20include%20creating%20a%20LAMMPS%20instance%2C%20passing%20on%20the%20simulation%20setup%0A%20%20%20%20and%20the%20update%20command%20associated%20with%20the%20continuation%20parameter%0A%20%20%20%20(%24%5Csigma_%7B12%7D%20%3D%202%5Cmu%24)%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%20%20%20%20from%20marimo_precompute%20import%20persistent_cache%2C%20prefetch_all%0A%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20LACT.precomputed%20import%20PrecomputedSystem%0A%20%20%20%20except%20ImportError%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20class%20PrecomputedSystem%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20def%20__init__(self%2C%20d)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.natoms%20%3D%20int(d%5B%22natoms%22%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.U_0%20%3D%20np.asarray(d%5B%22U_0%22%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.data%20%3D%20%7B%22Y_s%22%3A%20%5Bnp.asarray(y)%20for%20y%20in%20d%5B%22Y_s%22%5D%5D%2C%20%22ds_s%22%3A%20list(d.get(%22ds_s%22%2C%20%5B%5D))%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20%22energies%22%20in%20d%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.data%5B%22energies%22%5D%20%3D%20list(d%5B%22energies%22%5D)%0A%20%20%20%20return%20PrecomputedSystem%2C%20go%2C%20mo%2C%20np%2C%20persistent_cache%2C%20plt%2C%20prefetch_all%0A%0A%0A%40app.cell%0Aasync%20def%20_(prefetch_all)%3A%0A%20%20%20%20await%20prefetch_all()%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20N%20%3D%204%0A%20%20%20%20a%20%3D%202.0%20**%201.5%20%20%23%20FCC%20lattice%20constant%0A%20%20%20%20n_atoms%20%3D%20255%20%20%20%20%23%204%5E3%20*%204%20-%201%20vacancy%0A%20%20%20%20seed%20%3D%2012345%0A%0A%20%20%20%20make_crystal%20%3D%20None%0A%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20lammps%20import%20lammps%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20LACT%20import%20atom_cont_system%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20make_crystal()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(seed)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_lmp%20%3D%20lammps(cmdargs%3D%5B%22-screen%22%2C%20%22none%22%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_lmp.commands_string(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20units%20%20%20%20%20%20%20%20%20metal%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lattice%20%20%20%20%20%20%20fcc%20%7Ba%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20region%20%20%20%20%20%20%20%20cell%20block%200%20%7BN%7D%200%20%7BN%7D%200%20%7BN%7D%20units%20lattice%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20atom_modify%20%20%20map%20yes%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20create_box%20%20%20%202%20cell%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20create_atoms%20%201%20region%20cell%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pair_style%20%20%20%20lj%2Fsmooth%2Flinear%206.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pair_coeff%20%20%20%201%201%202.0%202.0%206.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pair_coeff%20%20%20%202%202%202.0%202.0%206.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pair_coeff%20%20%20%201%202%202.0%202.0%206.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mass%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%201.0%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20region%20vac%20block%20%7BN%2F%2F2%7D%20%7BN%2F%2F2%20%2B%200.25%7D%20%7BN%2F%2F2%7D%20%7BN%2F%2F2%20%2B%200.25%7D%20%7BN%2F%2F2%7D%20%7BN%2F%2F2%20%2B%200.25%7D%20units%20lattice%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20group%20%20vac%20region%20vac%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20delete_atoms%20group%20vac%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20compute%20forces%20all%20property%2Fatom%20fx%20fy%20fz%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20compute%20ids%20all%20property%2Fatom%20id%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Randomly%20assign%20~20%25%20of%20atoms%20as%20type%202%20(fixed%20seed)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_types%20%3D%20_lmp.numpy.extract_atom(%22type%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_types%5B_rng.uniform(size%3D_types.size)%20%3C%200.2%5D%20%3D%202%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20def%20update_command(mu)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pair_coeff%201%202%202.0%20%7B2.0%20*%20mu%7D%206.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_sys%20%3D%20atom_cont_system(_lmp%2C%20update_command)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20_sys%2C%20_lmp%0A%20%20%20%20except%20ImportError%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pass%0A%20%20%20%20return%20make_crystal%2C%20n_atoms%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(n_atoms%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20def%20get_crystal_data(sys_obj)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Extract%20mu%20values%20and%20displacement%20norms%20from%20solution%20data.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mus%2C%20_disp_norms%2C%20_max_disps%20%3D%20%5B%5D%2C%20%5B%5D%2C%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_Y%20in%20sys_obj.data%5B%22Y_s%22%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_mus.append(_Y%5B-1%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_dev%20%3D%20_Y%5B%3A-1%5D.reshape(n_atoms%2C%203)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_norm%20%3D%20np.linalg.norm(_dev)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_max_d%20%3D%20np.max(np.linalg.norm(_dev%2C%20axis%3D1))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_disp_norms.append(_norm)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_max_disps.append(_max_d)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.array(_mus)%2C%20np.array(_disp_norms)%2C%20np.array(_max_disps)%0A%0A%20%20%20%20return%20(get_crystal_data%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Quasi-static%20loading%0A%0A%20%20%20%20We%20ramp%20%24%5Cmu%24%20from%201.0%20in%20steps%20of%200.001%20for%20200%20steps%0A%20%20%20%20(%24%5Cmu%20%5Cin%20%5B1.0%2C%201.2%5D%24).%20Instabilities%20appear%20as%20discontinuous%20jumps%0A%20%20%20%20in%20the%20energy%20and%20displacement%20norm.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(PrecomputedSystem%2C%20get_crystal_data%2C%20make_crystal%2C%20np%2C%20persistent_cache)%3A%0A%20%20%20%20def%20_run_qs()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s%2C%20_lmp%20%3D%20make_crystal()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s.quasi_static_run(1.0%2C%200.001%2C%20200%2C%20verbose%3DFalse)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s.compute_energies()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22natoms%22%3A%20_s.natoms%2C%20%22U_0%22%3A%20_s.U_0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Y_s%22%3A%20_s.data%5B%22Y_s%22%5D%2C%20%22energies%22%3A%20_s.data%5B%22energies%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20with%20persistent_cache(name%3D%22demo4_qs%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20qs_data%20%3D%20_run_qs()%0A%20%20%20%20qs_sys%20%3D%20PrecomputedSystem(qs_data)%0A%20%20%20%20qs_mus%2C%20qs_disp_norms%2C%20qs_max_disps%20%3D%20get_crystal_data(qs_sys)%0A%20%20%20%20qs_energies%20%3D%20np.array(qs_sys.data%5B%22energies%22%5D)%0A%20%20%20%20return%20qs_disp_norms%2C%20qs_energies%2C%20qs_mus%2C%20qs_sys%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Energy%20and%20displacement%20vs%20%24%5Cmu%24%20(quasi-static%20only)%0A%0A%20%20%20%20These%20plots%20help%20identify%20the%20instabilities%20where%20continuation%0A%20%20%20%20branches%20should%20be%20seeded.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(plt%2C%20qs_disp_norms%2C%20qs_energies%2C%20qs_mus)%3A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20(_ax1%2C%20_ax2)%20%3D%20plt.subplots(2%2C%201%2C%20figsize%3D(10%2C%207)%2C%20sharex%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20_ax1.plot(qs_mus%2C%20qs_energies%2C%20%22-%22%2C%20lw%3D1.5%2C%20color%3D%22C1%22)%0A%20%20%20%20_ax1.set_ylabel(%22Potential%20energy%22)%0A%20%20%20%20_ax1.set_title(%22Quasi-static%3A%20energy%20vs%20%24%5C%5Cmu%24%22)%0A%20%20%20%20_ax1.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20_ax2.plot(qs_mus%2C%20qs_disp_norms%2C%20%22-%22%2C%20lw%3D1.5%2C%20color%3D%22C1%22)%0A%20%20%20%20_ax2.set_xlabel(r%22%24%5Cmu%24%22)%0A%20%20%20%20_ax2.set_ylabel(%22Total%20displacement%20norm%22)%0A%20%20%20%20_ax2.set_title(%22Quasi-static%3A%20displacement%20norm%20vs%20%24%5C%5Cmu%24%22)%0A%20%20%20%20_ax2.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Arclength%20continuation%0A%0A%20%20%20%20We%20use%20%60seed_continuation%60%20to%20create%20fresh%20systems%20seeded%20from%0A%20%20%20%20two%20consecutive%20quasi-static%20points%20near%20the%20instabilities.%0A%20%20%20%20Adjust%20the%20indices%20below%20based%20on%20the%20QS%20energy%20plot%20above.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.function%0Adef%20seed_continuation(make_crystal%2C%20qs_Ys%2C%20idx%2C%20reverse%3DFalse)%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20new_sys%2C%20_lmp%20%3D%20make_crystal()%0A%20%20%20%20new_sys.quasi_static_run(1.0%2C%200.0%2C%201%2C%20verbose%3DFalse)%0A%0A%20%20%20%20Y_a%20%3D%20qs_Ys%5Bidx%5D.copy()%0A%20%20%20%20Y_b%20%3D%20qs_Ys%5Bidx%20%2B%201%5D.copy()%0A%0A%20%20%20%20if%20reverse%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20new_sys.data%5B%22Y_s%22%5D%20%3D%20%5BY_b%2C%20Y_a%5D%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20new_sys.data%5B%22Y_s%22%5D%20%3D%20%5BY_a%2C%20Y_b%5D%0A%20%20%20%20new_sys.data%5B%22ds_s%22%5D%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%20%20%20%20return%20new_sys%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(PrecomputedSystem%2C%20make_crystal%2C%20persistent_cache%2C%20qs_sys)%3A%0A%20%20%20%20def%20_run_cont_a()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s%20%3D%20seed_continuation(make_crystal%2C%20qs_sys.data%5B%22Y_s%22%5D%2C%20120%2C%20reverse%3DFalse)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s.continuation_run(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20n_iter%3D200%2C%20ds_default%3D0.01%2C%20ds_smallest%3D1e-5%2C%20ds_largest%3D2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cont_target%3D0.95%2C%20verbose%3DFalse%2C%20checkpoint_freq%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s.compute_energies()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22natoms%22%3A%20_s.natoms%2C%20%22U_0%22%3A%20_s.U_0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Y_s%22%3A%20_s.data%5B%22Y_s%22%5D%2C%20%22energies%22%3A%20_s.data%5B%22energies%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20with%20persistent_cache(name%3D%22demo4_cont_a%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cont_a_data%20%3D%20_run_cont_a()%0A%20%20%20%20sys_a%20%3D%20PrecomputedSystem(cont_a_data)%0A%20%20%20%20return%20(sys_a%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(PrecomputedSystem%2C%20make_crystal%2C%20persistent_cache%2C%20qs_sys)%3A%0A%20%20%20%20def%20_run_cont_b()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s%20%3D%20seed_continuation(make_crystal%2C%20qs_sys.data%5B%22Y_s%22%5D%2C%20135%2C%20reverse%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s.continuation_run(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20n_iter%3D200%2C%20ds_default%3D0.01%2C%20ds_smallest%3D1e-5%2C%20ds_largest%3D2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cont_target%3D0.95%2C%20verbose%3DFalse%2C%20checkpoint_freq%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s.compute_energies()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22natoms%22%3A%20_s.natoms%2C%20%22U_0%22%3A%20_s.U_0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Y_s%22%3A%20_s.data%5B%22Y_s%22%5D%2C%20%22energies%22%3A%20_s.data%5B%22energies%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20with%20persistent_cache(name%3D%22demo4_cont_b%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cont_b_data%20%3D%20_run_cont_b()%0A%20%20%20%20sys_b%20%3D%20PrecomputedSystem(cont_b_data)%0A%20%20%20%20return%20(sys_b%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20qs_sys%2C%20sys_a%2C%20sys_b)%3A%0A%20%20%20%20branch_styles%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22QS%22%2C%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20qs_sys%2C%20%22-%22%2C%20%22C1%22%2C%203.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Continuation%20A%22%2C%20%20sys_a%2C%20%20%22-%22%2C%20%22C0%22%2C%201.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Continuation%20B%22%2C%20%20sys_b%2C%20%20%22-%22%2C%20%22C2%22%2C%201.5)%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20def%20get_branch_energies(sys_obj)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mus%20%3D%20np.array(%5BY%5B-1%5D%20for%20Y%20in%20sys_obj.data%5B%22Y_s%22%5D%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_energies%20%3D%20np.array(sys_obj.data%5B%22energies%22%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20_mus%2C%20_energies%0A%0A%20%20%20%20return%20branch_styles%2C%20get_branch_energies%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Energy%20diagram%20(all%20branches)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(branch_styles%2C%20get_branch_energies%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%205))%0A%20%20%20%20for%20_label%2C%20_sys%2C%20_fmt%2C%20_color%2C%20_lw%20in%20branch_styles%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s%2C%20_e%20%3D%20get_branch_energies(_sys)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_s%2C%20_e%2C%20_fmt%2C%20lw%3D_lw%2C%20color%3D_color%2C%20label%3D_label)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(r%22%24%5Cmu%24%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(%22Potential%20energy%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_title(%22Energy%20diagram%22)%0A%20%20%20%20_ax.legend()%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Displacement%20norm%20diagram%20(all%20branches)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(branch_styles%2C%20get_crystal_data%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%205))%0A%20%20%20%20for%20_label%2C%20_sys%2C%20_fmt%2C%20_color%2C%20_lw%20in%20branch_styles%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s%2C%20_d%2C%20_%20%3D%20get_crystal_data(_sys)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_s%2C%20_d%2C%20_fmt%2C%20lw%3D_lw%2C%20color%3D_color%2C%20label%3D_label)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(r%22%24%5Cmu%24%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(%22Total%20displacement%20norm%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_title(%22Displacement%20norm%20vs%20%24%5C%5Cmu%24%22)%0A%20%20%20%20_ax.legend()%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Representative%20configurations%0A%0A%20%20%20%203D%20scatter%20plots%20of%20the%20crystal%20at%20key%20points%3A%20the%20reference%20state%2C%0A%20%20%20%20a%20configuration%20from%20Continuation%20A%2C%20and%20one%20from%20Continuation%20B.%0A%20%20%20%20Atoms%20are%20coloured%20by%20displacement%20magnitude.%20We%20pick%20the%20entries%20which%20correspond%20to%20%24%5Cmu%20%5Capprox%201%24%20and%20reveal%20the%20single%20atom%20rearrangement%20(Continuation%20A)%20and%20three%20atom%20rearrangement%20(Continuation%20B).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(go%2C%20mo%2C%20n_atoms%2C%20np%2C%20qs_sys%2C%20sys_a%2C%20sys_b)%3A%0A%20%20%20%20_snapshots%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(qs_sys%2C%200%2C%20%20%22Reference%20(QS%2C%20%24%5C%5Cmu%24%20%3D%20%7B%3A.3f%7D)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(sys_a%2C%20%2049%2C%20%22Continuation%20A%2C%20idx%2049%20(%24%5C%5Cmu%24%20%3D%20%7B%3A.3f%7D)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(sys_b%2C%20%2036%2C%20%22Continuation%20B%2C%20idx%2036%20(%24%5C%5Cmu%24%20%3D%20%7B%3A.3f%7D)%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20_figs%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_sys%2C%20_idx%2C%20_title_fmt%20in%20_snapshots%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Y%20%3D%20_sys.data%5B%22Y_s%22%5D%5B_idx%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_U0%20%3D%20_sys.U_0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dev%20%3D%20_Y%5B%3A-1%5D.reshape(n_atoms%2C%203)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_pos%20%3D%20_U0%20%2B%20_dev%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mu%20%3D%20_Y%5B-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dmag%20%3D%20np.linalg.norm(_dev%2C%20axis%3D1)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%20%3D%20go.Figure(data%3D%5Bgo.Scatter3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_pos%5B%3A%2C%200%5D%2C%20y%3D_pos%5B%3A%2C%201%5D%2C%20z%3D_pos%5B%3A%2C%202%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20size%3D4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_dmag%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorscale%3D%22Viridis%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorbar%3Ddict(title%3D%22Disp.%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cmin%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cmax%3Dmax(np.max(_dmag)%2C%200.01)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D_title_fmt.format(_mu)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20scene%3Ddict(aspectmode%3D%22data%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3Ddict(l%3D0%2C%20r%3D0%2C%20t%3D40%2C%20b%3D0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D400%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_figs.append(_fig)%0A%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bmo.ui.plotly(_f)%20for%20_f%20in%20_figs%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Interactive%20explorer%0A%0A%20%20%20%20Pick%20a%20system%20and%20slide%20along%20the%20solution%20curve.%20The%20left%20panel%0A%20%20%20%20shows%20the%203D%20atomic%20configuration%20(coloured%20by%20displacement%20or%0A%20%20%20%20species)%3B%20the%20right%20panel%20shows%20the%20energy%20curve%20with%20a%20red%20dot%0A%20%20%20%20marking%20the%20current%20point.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20sys_dropdown%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%22QS%22%3A%20%22qs%22%2C%20%22Continuation%20A%22%3A%20%22cont_a%22%2C%20%22Continuation%20B%22%3A%20%22cont_b%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22QS%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22System%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sys_dropdown%0A%20%20%20%20return%20(sys_dropdown%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20color_dropdown%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%22Displacement%20magnitude%22%3A%20%22disp%22%2C%20%22Species%22%3A%20%22species%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Displacement%20magnitude%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Colour%20by%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20color_dropdown%0A%20%20%20%20return%20(color_dropdown%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(cont_sys_map%2C%20mo%2C%20sys_dropdown)%3A%0A%20%20%20%20_active%20%3D%20cont_sys_map%5Bsys_dropdown.value%5D%0A%20%20%20%20_n_pts%20%3D%20len(_active.data%5B%22Y_s%22%5D)%0A%20%20%20%20idx_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%20stop%3D_n_pts%20-%201%2C%20step%3D1%2C%20value%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Index%20along%20curve%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20idx_slider%0A%20%20%20%20return%20(idx_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(qs_sys%2C%20sys_a%2C%20sys_b)%3A%0A%20%20%20%20cont_sys_map%20%3D%20%7B%22qs%22%3A%20qs_sys%2C%20%22cont_a%22%3A%20sys_a%2C%20%22cont_b%22%3A%20sys_b%7D%0A%20%20%20%20return%20(cont_sys_map%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20branch_styles%2C%0A%20%20%20%20color_dropdown%2C%0A%20%20%20%20cont_sys_map%2C%0A%20%20%20%20get_branch_energies%2C%0A%20%20%20%20go%2C%0A%20%20%20%20idx_slider%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20n_atoms%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20sys_dropdown%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_active%20%3D%20cont_sys_map%5Bsys_dropdown.value%5D%0A%20%20%20%20_idx%20%3D%20idx_slider.value%0A%20%20%20%20_Y%20%3D%20_active.data%5B%22Y_s%22%5D%5B_idx%5D%0A%20%20%20%20_U0%20%3D%20_active.U_0%0A%20%20%20%20_dev%20%3D%20_Y%5B%3A-1%5D.reshape(n_atoms%2C%203)%0A%20%20%20%20_pos%20%3D%20_U0%20%2B%20_dev%0A%20%20%20%20_mu%20%3D%20_Y%5B-1%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Left%3A%203D%20configuration%20(plotly)%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20if%20color_dropdown.value%20%3D%3D%20%22disp%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dmag%20%3D%20np.linalg.norm(_dev%2C%20axis%3D1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_marker%20%3D%20dict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20size%3D4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_dmag%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorscale%3D%22Viridis%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorbar%3Ddict(title%3D%22Disp.%22%2C%20len%3D0.6)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cmin%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cmax%3Dmax(np.max(_dmag)%2C%200.01)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Species%20colouring%20%E2%80%94%20need%20to%20read%20types%20from%20LAMMPS%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(12345)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_type_colors%20%3D%20np.ones(n_atoms)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_type_colors%5B_rng.uniform(size%3Dn_atoms)%20%3C%200.2%5D%20%3D%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_marker%20%3D%20dict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20size%3D4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_type_colors%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorscale%3D%5B%5B0%2C%20%22steelblue%22%5D%2C%20%5B0.5%2C%20%22steelblue%22%5D%2C%20%5B0.5%2C%20%22salmon%22%5D%2C%20%5B1%2C%20%22salmon%22%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cmin%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cmax%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorbar%3Ddict(title%3D%22Type%22%2C%20tickvals%3D%5B1%2C%202%5D%2C%20ticktext%3D%5B%221%22%2C%20%222%22%5D%2C%20len%3D0.6)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_fig3d%20%3D%20go.Figure(data%3D%5Bgo.Scatter3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_pos%5B%3A%2C%200%5D%2C%20y%3D_pos%5B%3A%2C%201%5D%2C%20z%3D_pos%5B%3A%2C%202%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3D_marker%2C%0A%20%20%20%20)%5D)%0A%20%20%20%20_fig3d.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22%24%5C%5Cmu%24%20%3D%20%7B_mu%3A.4f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20scene%3Ddict(aspectmode%3D%22data%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3Ddict(l%3D0%2C%20r%3D0%2C%20t%3D40%2C%20b%3D0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D500%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Right%3A%20energy%20curve%20(matplotlib)%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_fig2d%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(6%2C%204.5))%0A%20%20%20%20for%20_label%2C%20_sys%2C%20_fmt%2C%20_color%2C%20_lw%20in%20branch_styles%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s%2C%20_e%20%3D%20get_branch_energies(_sys)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_s%2C%20_e%2C%20_fmt%2C%20lw%3D_lw%20*%200.7%2C%20color%3D_color%2C%20alpha%3D0.5%2C%20label%3D_label)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Current%20point%0A%20%20%20%20_cur_mus%2C%20_cur_e%20%3D%20get_branch_energies(_active)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_cur_mus%5B_idx%5D%2C%20_cur_e%5B_idx%5D%2C%20%22o%22%2C%20ms%3D12%2C%20color%3D%22red%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D10%2C%20label%3D%22Current%20point%22)%0A%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(r%22%24%5Cmu%24%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(%22Potential%20energy%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_title(%22Energy%20diagram%22)%0A%20%20%20%20_ax.legend(fontsize%3D7)%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_fig2d.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bmo.ui.plotly(_fig3d)%2C%20_fig2d%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A